第03章 计算机的算术运算

整数运算

加法与减法

• 溢出 (Overflow) 条件：
  • 加法：当两个同号操作数相加，结果超出可表示范围时发生溢出。
    • 两个正数相加，若结果符号为 1，则溢出。
    • 两个负数相加，若结果符号为 0，则溢出。
    • 一正一负相加，绝不会发生溢出。
  • 减法：当两个异号操作数相减时可能发生溢出（同号相减无溢出）。
    • 正数减负数，若结果符号为 1，则溢出。
    • 负数减正数，若结果符号为 0，则溢出。
• 多媒体算术运算：
  • 图形和媒体处理通常需要对8位和16位的向量数据进行操作。
  • 采用具有分段式进位链的64位加法器，可同时对8个8位、4个16位或2个32位向量进行运算。
  • 此技术被称为 单指令多数据 (SIMD, Single-Instruction, Multiple-Data) 或 子字并行 (Subword Parallelism)。
  • 饱和操作 (Saturation)：发生溢出时，结果保持为可表示的最大（或最小）值，而非像二进制补码那样进行取模回绕（常用于音频限幅、视频饱和处理）。

乘法

• 硬件实现与优化：
  • 基础实现：被乘数左移，乘数右移，使用128位ALU和128位乘积寄存器。
  • 优化实现：使用64位ALU，被乘数固定，乘积寄存器整体右移（乘法/移位并行执行，每次部分积相加占1个周期）。
  • 高速实现：使用多个加法器并行执行并支持流水线化，权衡性价比。
• RISC-V 整数乘法指令集：

指令	用途	结果说明	溢出检查方法
mul	乘法	返回乘积的低64位	结合高位指令检查
mulh	有符号乘积高位	返回乘积的高64位（双有符号数）	与 mul 结合检查64位溢出
mulhu	无符号乘积高位	返回乘积的高64位（双无符号数）	与 mul 结合检查64位溢出
mulhsu	混合乘积高位	返回乘积的高64位（一有符号，一无符号）	结合高位指令检查

除法

• 算法与硬件实现：
  • 需要首先检查除数是否为 0。
  • 除法恢复 (Restoring Division)：先做减法，若余数小于0，则将除数加回以恢复原值。
  • 有符号除法：使用绝对值相除，最后按规则调整商和余数的符号。
  • 基础与优化硬件：基础版除数右移、商左移；优化版使用64位ALU，余数寄存器左移，可与乘法器共享硬件资源。
  • 高速实现：除法无法像乘法那样完全并行（减法依赖余数符号），更快的除法器（如 SRT 除法）每步可产生多个商位。
• RISC-V 整数除法指令集：

指令	用途	异常处理机制
div	有符号除法	溢出和除0 不产生错误，只返回预定义结果以保证执行速度
rem	有符号求余数	同上
divu	无符号除法	同上
remu	无符号求余数	同上

---

浮点运算与 IEEE 754 标准

浮点数表示方法

• 基础格式：类似于科学记数法的二进制表示 $\pm 1.xxxxxx{x}_2\times 2^{yyyy}$。
• IEEE 754 标准：目前几乎全球通用，解决了科学计算代码的可移植性问题，分为单精度（C语言 float）和双精度（C语言 double）。
• 编码结构：
  • S (Sign)：符号位（0 代表非负数，1 代表负数）。
  • Fraction (有效数字/尾数)：规格化表示为 $1.0\le |\text{有效数字}|<2.0$，小数点前隐含一位 1，无需显式存储（即 隐含位 (Hidden Bit)）。
  • Exponent (指数)：采用 偏置表述 (Biased Notation)，实际指数 = 寄存器指数 - 偏阶。

精度类型	总位数	偏阶 (Bias)	有效数字精度	近似十进制精度	最小正值范围	最大正值范围
单精度	32位	127	23位尾数 ($2^{-23}$)	~6位十进制数	~ $1.2\times {10}^{-38}$	~ $3.4\times {10}^{38}$
双精度	64位	1023	52位尾数 ($2^{-52}$)	~16位十进制数	~ $2.2\times {10}^{-308}$	~ $1.8\times {10}^{308}$

特殊数值表述

• 非规格化数 (Denormalized Numbers)：指数全为 0，此时隐含位也是 0，允许渐进下溢以减少精度损失（注：此时 0.0 有两种正负表述）。
• 无穷大 (Infinity)：指数全为 1，尾数全为 0，表示 $\pm \mathrm{\infty }$，可用于后续运算避免溢出检查。
• NaN (Not-a-Number, 非数字)：指数全为 1，尾数不全为 0，表示非法或未定义结果（如 0.0 / 0.0），可传递至后续运算。

浮点加法运算步骤

• Step 1. 对齐小数点：将指数较小的数向右移位，直到其指数与较大的数相同。
• Step 2. 尾数相加：将对齐后的有效数字进行加法运算。
• Step 3. 规格化与检查：规格化相加结果，并检查是否发生上溢 (Overflow) 或下溢 (Underflow)。
• Step 4. 舍入：对结果进行舍入处理，若舍入后破坏了规格化，则再次进行规格化。
• 硬件特性：浮点加法器远比整数加法器复杂，需要多个时钟周期完成，通常支持流水线化。

算术精确性与舍入控制

• 附加保护位：硬件运算时保留多余的位以提升精度，包括 保护位 (Guard)、舍入位 (Round) 和 粘性位 (Sticky)。
• 舍入模式 (IEEE 754-2008 定义 5 种)：舍入到最近的偶数、舍入到最近的最大幅值、向0舍入、向 $-\mathrm{\infty }$ 舍入、向 $+\mathrm{\infty }$ 舍入。
• 精度重要性：浮点精度不仅对科学计算至关重要，也影响消费市场（如著名的 Intel Pentium FDIV 硬件漏洞）。

---

RISC-V 浮点指令与代码映射

寄存器与核心指令

• 寄存器约定：拥有独立的32个浮点寄存器 f0 至 f31。双精度占用整个64位，单精度数值保存在低32位中。浮点和整数操作之间严格分离。
• 指令汇总：

操作类型	单精度指令 (.s)	双精度指令 (.d)	说明
内存存取	flw, fsw	fld, fsd	单精度取/存字，双精度取/存双字
算术运算	fadd.s, fsub.s, fmul.s, fdiv.s, fsqrt.s	fadd.d, fsub.d, fmul.d, fdiv.d, fsqrt.d	浮点加/减/乘/除/平方根运算
逻辑比较	feq.s, flt.s, fle.s	feq.d, flt.d, fle.d	比较结果为0或1，保存在整数目的寄存器中，供 beq/bne 分支跳转使用

汇编代码映射示例

示例 1：将华氏度转换为摄氏度

• C 代码:

float f2c (float fahr) {
    return ((5.0/9.0)*(fahr - 32.0));
}

• RISC-V 汇编映射 (假定参数在 f10 中，返回结果在 f10 中)：

f2c:
    flw     f0, const5(x3)      # f0 = 5.0f
    flw     f1, const9(x3)      # f1 = 9.0f
    fdiv.s  f0, f0, f1          # f0 = 5.0f / 9.0f
    flw     f1, const32(x3)     # f1 = 32.0f
    fsub.s  f10, f10, f1        # f10 = fahr - 32.0f
    fmul.s  f10, f0, f10        # f10 = (5.0f/9.0f)*(fahr-32.0f)
    jalr    x0, 0(x1)           # return

示例 2：双精度矩阵乘法 (部分循环逻辑)

• C 代码 (32x32 矩阵 $C = C + A \times B$)：

void mm (double c[][], double a[][], double b[][]) {
    size_t i, j, k;
    for (i = 0; i < 32; i = i + 1)
        for (j = 0; j < 32; j = j + 1)
            for (k = 0; k < 32; k = k + 1)
                c[i][j] = c[i][j] + a[i][k] * b[k][j];
}

• RISC-V 汇编映射 (最内层循环片段，假定指针在 x10~x12，索引在 x5~x7)：

L3: 
    # 计算并加载 b[k][j]
    slli    x29, x7, 5          # x29 = k * 32 (行大小)
    add     x29, x29, x6        # x29 = k * 32 + j
    slli    x29, x29, 3         # x29 = 字节偏移 (乘8)
    add     x29, x12, x29       # x29 = b[k][j] 的地址
    fld     f1, 0(x29)          # f1 = b[k][j]

    # 计算并加载 a[i][k]
    slli    x29, x5, 5          # x29 = i * 32 (行大小)
    add     x29, x29, x7        # x29 = i * 32 + k
    slli    x29, x29, 3         # x29 = 字节偏移 (乘8)
    add     x29, x11, x29       # x29 = a[i][k] 的地址
    fld     f2, 0(x29)          # f2 = a[i][k]

    # 核心浮点运算
    fmul.d  f1, f2, f1          # f1 = a[i][k] * b[k][j]
    fadd.d  f0, f0, f1          # f0 = c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]
    # (注：此处可用 fmadd.d 单条指令替换 fmul.d 和 fadd.d)

    # 循环控制
    addi    x7, x7, 1           # k = k + 1
    bltu    x7, x28, L3         # if (k < 32) go to L3
    fsd     f0, 0(x30)          # 保存回 c[i][j]