图灵机与可解性 (Turing Machine and Decidability)

对于所有算法问题，我们可以将其描述为一个函数 $f:\{0,1{\}}^{\ast }\to \{0,1\}$。如果问题是对一个输入 $x$ 返回“是”或“否”，那么：

• $f(x)=1$ 表示问题成立（接受）。
• $f(x)=0$ 表示问题不成立（拒绝）。

图灵机 (Turing Machine, TM) 是一个抽象的计算模型，它是算法的数学抽象，由以下部分组成：

• 一条无限长的磁带（作为存储介质）。
• 一个读写头（可以在磁带上移动并读写符号）。
• 一个有限状态控制器。

丘奇-图灵论题 (Church-Turing Thesis)：任何“可计算”的过程都可以被图灵机模拟。这意味着图灵机定义了算法的计算极限。

定义：可判定性 (Decidability)

• 可判定 (Decidable)：如果存在一个图灵机 $M$，对于任何输入 $x$，它都能在有限步内停机，并给出正确答案（接受或拒绝），则称该问题是可判定的。这也对应于递归语言。
• 可识别 (Recognizable)：如果存在一个图灵机 $M$，当 $f(x)=1$ 时它最终会停机并接受；但当 $f(x)=0$ 时，它可能停机拒绝，也可能永远运行下去（进入死循环）。这也对应于递归可枚举语言。

---

停机问题 (Halting Problem)

停机问题是计算机科学中最著名的不可判定问题（Undecidable Problem）。

1. 问题定义

是否存在一个通用的图灵机 $H$，能够接收任意图灵机 $M$ 的描述和输入 $x$，并准确通过有限步判断 $M(x)$ 是会停机还是会永远运行？

即判定函数：

$$H(M,x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{如果 }M(x)\text{ 停机}\\ 0& \text{如果 }M(x)\text{ 不停机}\end{array}$$

2. 证明：停机问题是不可判定的

采用反证法（基于对角线法）：

1. 假设存在这样一个完美的判定器 $H(M,x)$。

2. 构造一个新的虚构图灵机 $D$（取名为 Diagonalizer），它利用 $H$ 来制造逻辑冲突。$D$ 接收一个程序 $M$ 的源码作为输入，其行为如下：

   • 内部调用 $H(M,M)$（即将 $M$ 既作为程序又作为参数）。
   • 如果 $H(M,M)=1$（$M$ 停机），$D$ 就故意进入死循环。
   • 如果 $H(M,M)=0$（$M$ 不停机），$D$ 就停机并返回。

   伪代码描述：

   def D(M):
       if H(M, M) == "停机":
           while True: pass # 故意进入死循环
       else:
           return # 停机

3. 考虑 $D(D)$ 的运行情况：

   • 如果 $D(D)$ 停机：根据 $D$ 的逻辑，这意味着 $H(D,D)$ 的判定结果一定是“不停机”，这与事实（$D(D)$ 停机）矛盾。
   • 如果 $D(D)$ 不停机：根据 $D$ 的逻辑，这意味着 $H(D,D)$ 的判定结果一定是“停机”，这与事实（$D(D)$ 不停机）矛盾。

4. 结论：上述逻辑矛盾证明了假设的不成立。因此，不存在能够解决停机问题的通用算法 $H$。停机问题是不可判定的。

---

在线算法 (Online Algorithm)

有时我们无法预知未来的输入，必须在不完全信息下做决策。

核心指标：竞争比 (Competitive Ratio)

对于算法 $A$ 和情况 $\sigma$，若满足：

$$A(\sigma )\le \gamma \cdot OPT(\sigma )$$

则称 $A$ 的竞争比为 $\gamma$。其中 $OPT(\sigma )$ 为已知所有信息的离线最优解。

示例：租装备 vs 买装备 (Ski Rental Problem)

• 条件：租赁 $1$ 元/天，购买 $10$ 元。总天数 $k$ 未知。
• 离线最优解 $OPT$：
  • 若 $k<10$: 租 $k$ 天，花费 $k$。
  • 若 $k\ge 10$: 第 $1$ 天买，花费 $10$。
• 在线算法策略：当前 $9$ 天租，第 $10$ 天买。
• 性能分析：
  • 情况 1 ($k<10$)：算法总花费 $k$，$OPT=k$，比率为 $1$。
  • 情况 2 ($k\ge 10$)：算法总花费 $9(\text{租})+10(\text{买})=19$，$OPT=10$，比率为 $1.9$。
• 结论：对该问题，在第 $B$ 天购买（$B$ 为购买价格）的策略可保证竞争比 $\gamma =2-\frac{1}{B}$。

随机化在线算法 (Randomized Online Algorithm)

不仅仅通过单一确定性策略，我们还可以使用概率组合算法：

• 策略实现：不再固定在第 $B$ 天购买，而是按某种概率分布 $p_i$ 选择在第 $i$ 天触发购买。
• 性能优势：对于租装备问题，最优的随机化策略可将竞争比从 $2$ 降低到 $\frac{e}{e-1}\approx 1.58$。
• 背景逻辑：随机化模糊了决策边界，使得“对手”无法针对一个固定的购买日期构造出导致最坏比率的输入 $k$。

最优概率分布设计 (Optimal Distribution)：

在购买代价为 $B$ 时，让第 $x$ 天购买的概率密度符合：

$$f(x)=\frac{e^{x/B}}{B(e-1)}$$

其对应的累积分布函数为 $F(x)=\frac{e^{x/B}-1}{e-1}$。

具体实现步骤：

1. 采样：在算法开始前（第 $1$ 天之前），从 $[0,1]$ 均匀随机采样一个数 $u$。
2. 决策点：计算购买天数 $t=B\cdot \ln (1+u(e-1))$。
3. 执行：在第 $t$ 天之前一直租赁；当到达第 $t$ 天（或离散下的 $\lceil t\rceil$ 天）时，立即执行购买。

通过该方案，在任意输入 $k$ 下，算法的期望花费满足 $E[Cost]\le \frac{e}{e-1}OPT$，达到了在线算法理论上的最优竞争比。